牛吃草问题

问题

我在吴军《数学通识》上看到这道题，据说是牛顿出的，如下：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22 天；供给16头牛吃，可以吃10天。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？

我算出的答案是5.5天。

解答

我们以牛的每天食量（\(1\)头牛\(1\)天所吃草的量）为草的计量单位，记为牛。设牧场原有草的量为\(x\)牛，草生长速度为\(y\)牛每天，\(25\) 头牛可以吃\(z\)天，由草存量加上草增长量等于牛吃的草总量，有： $$\begin{cases} \begin{align} x + 22\times y = 10\times22 \qquad (1) \\ x + 10 \times y = 16\times 10 \qquad (2) \\ x + z \times y = 25 \times z \qquad (3) \\ \end{align} \end{cases} $$

由\((1)\)和\((2)\)可得： $$\begin{align} x = 110 \\ y = 5 \end{align} $$

带入\((3)\)，得到： $$ z = 5.5 $$

也就是\(25\)头牛可以吃\(5.5\)天。

解析

这道题困难之处在于合理选择草的计量单位。我们选一头牛一天食量为草的计量单位，记为牛。至于一头牛一天吃多少公斤草，本题至始至终并不能给出答案。但我们知道一头牛一天吃一牛的草，牧场一天长5牛的草，牧场原有110牛的草。牧场的草够25头牛吃5天半。这些都是可以计算得到的。

这很像牧民所出的题。一块牧场，10头牛来，吃了22天，草没了；同一块牧场， 16头牛来，吃了10天，草没了；那我有25头牛，如果来这块牧场，又能吃几天呢？仔细算算，才能吃五天半，那干脆别来了，否则一个星期不到，就得转牧场，太麻烦了。